无穷小与无穷大

无穷小

定义

若函数 $f(x)$ 满足 $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\(x\to\infty)}}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to\infty$）时的无穷小

由定义可知无穷小的本质是一个函数，此函数在自变量的某一变化过程中函数值无限趋近于 $0$。无穷小并非一个很小的数

无穷小与极限的关系

$\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\(x\to\infty)}}f(x)=A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to\infty$）时的无穷小

此定理由极限的加法法则易证

无穷小的比较

当 $x\to 0$ 时，$x$ 和 $x^2$ 都是无穷小，但是 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{x^2}=\infty$。因为在 $x\to 0$ 过程中，$x^2$ 趋于 $0$ 的速度比 $x$ 快

根据两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同无穷小趋于 $0$ 的快慢程度

假设 $\alpha$，$\beta$ 为自变量的同一变化过程中的无穷小，根据 $\lim\frac{\alpha}{\beta}$ 的取值

• $0$：高阶无穷小
  • 若存在 $k>0$ 使 $\lim\frac{\alpha}{\beta^k}=c\neq 0$，则为 $k$ 阶无穷小
• 不为 $0$ 的常数：同阶无穷小
  • 若常数为 $1$，则为等价无穷小
• $\infty$：低阶无穷小

高阶无穷小

若 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=0$ 则称“$\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小”，记作 $\alpha=o(\beta)$

低阶无穷小

若 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=\infty$ 则称“$\alpha$ 是比 $\beta$ 低阶的无穷小”

若 $\alpha$ 是比 $\beta$ 的高阶无穷小，则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的低阶无穷小

同阶无穷小

若 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=c\neq 0$ 则称“$\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶的无穷小”

k 阶无穷小

若 $\lim\frac{\alpha}{\beta^k}=c\neq 0,~k>0$ 则称“$\alpha$ 是关于 $\beta$ 的 $k$ 阶的无穷小”

等价无穷小

定义

若 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=1$ 则称“$\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小”，记作 $\alpha\sim\beta$

性质

• 自反性：$\alpha\sim\alpha$
• 对称性：若 $\alpha\sim\beta$ 则 $\beta\sim\alpha$
• 传递性：若 $\alpha\sim\beta,~\beta\sim\gamma$ 则 $\alpha\sim\gamma$

常见等价无穷小

$x\to 0$ 时

• $\sin x\sim x$

  证明过程

  如图单位圆内有一角度 $x\in(-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2})$
  
  由图可看出当 $x\to 0$ 时，始终有
  $S_{\triangle AOB}< S_{扇形AOB}< S_{\triangle AOC}$
  $\therefore\frac{1}{2}|\sin x|< \frac{1}{2}|x|<\frac{1}{2}|\tan x|$
  $\therefore|\sin x|< |x|<\frac{|\sin x|}{\cos x},~\cos x>0$
  $\therefore\cos x<|\frac{\sin x}{x}|< 1$
  $\therefore\cos x<\frac{\sin x}{x}<1,~\frac{\sin x}{x}>0$
  $\because\lim\limits_{x\to 0}\cos x=1$
  由夹逼准则知 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
  $\therefore\sin x\sim x$

• $\tan x\sim x$

  证明过程

  $\because$

  $$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\\ &=1 \end{aligned}$$

  $\therefore\tan x\sim x$

• $\arcsin x\sim x$

  证明过程

  $\because$

  $$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\arcsin x)'}{(x)'}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &=1 \end{aligned}$$

  $\therefore\arcsin x\sim x$

• $a^x-1\sim x\ln a$

  证明过程

  $\because$

  $$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x\ln a}&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(a^x-1)'}{(x\ln a)'}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x\ln a}{\ln a}\\ &=1 \end{aligned}$$

  $\therefore a^x-1\sim x\ln a$

  • $e^x-1\sim x$
  • $\ln(1+x)\sim x$

• $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$

  证明过程

  > $\because$ > $$\begin{aligned} > \lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}x^2}&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)'}{(\frac{1}{2}x^2)'}\\ > &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\\ > &=1 > \end{aligned}$$ > $\therefore 1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$

• $(1+x)^a-1\sim ax$

  证明过程

  $\because$

  $$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{ax}&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{[(1+x)^a-1]'}{(ax)'}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{a(1+x)^{a-1}}{a}\\ &=1 \end{aligned}$$

  $\therefore(1+x)^a-1\sim ax$

定理

定理 1：充要条件
$\alpha\sim\beta$ 的充分必要条件为 $\beta=\alpha+o(\alpha)$

定理 2：等价替换
若 $\alpha\sim\beta,~\widetilde\alpha\sim\widetilde\beta$ 则 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{\widetilde\alpha}{\beta}=\lim\frac{\alpha}{\widetilde\beta}=\lim\frac{\widetilde\alpha}{\widetilde\beta}$

利用以上两个定理对于极限的求取很有帮助，如求极限 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x}{x+x^2+x^3}$
因为 $x=x+o(x)$，其中 $o(x)=x^2+x^3$
所以 $x\sim x+x^2+x^3$
所以 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x}{x+x^2+x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x}{x}=2$

无穷大

若函数 $f(x)$ 满足 $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\(x\to\infty)}}f(x)=\infty$，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to\infty$）时的无穷大

注意：$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\(x\to\infty)}}f(x)=\infty$（①式）是 $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\(x\to\infty)}}f(x)=+\infty$（②式）和 $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\(x\to\infty)}}f(x)=-\infty$（③式）的统称。满足②③式其中之一必满足①式

由定义可知无穷大的本质是一个函数，此函数在自变量的某一变化过程中函数值无限趋近于 $\infty$。无穷大并非一个很大的数

无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中，

• 若 $f(x)$ 为无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大
• 若 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小