映射

定义

$X$、$Y$ 为非空集合，有一个法则 $f$，使得 $X$ 中每一个元素 $x$，在 $Y$ 下都有唯一的 $y$ 与之对应。记作：$f:X\rightarrow Y$

称：

• $y$ 为 $x$（在映射 $f$ 下）的像，记作 $f(x)$
• $x$ 为 $y$（在映射 $f$ 下）的原像
• $X$ 为映射 $f$ 的定义域，记作 $D_f$
• $X$ 中所有元素的像组成的集合为值域，记作 $R_f$ 或 $f(X)$

由定义可知：

• $D_f=X$
  每个 $x$ 都有 $y$ 与之对应
• $f(X)=R_f\subseteq Y$，而非 $R_f=Y$
  $y$ 不一定有 $x$ 与之对应
• $\forall x\in X$ 对应的像唯一
  每个 $x$ 只能对应一个 $y$
• 可能有一个 $y$ 对应多个 $x$
• $y=f(x)$

如图是一个简单的映射：

此映射为一个简单的分类映射

三要素

1. 定义域 $D_f$
2. 值域 $R_f$
3. 对应法则 $f$

分类

满射

$R_f=Y$，即每个 $y$ 都有 $x$ 与之对应，称为满射

如图：

单射

$\forall x_1\neq x_2\in X$ 都有 $f(x_1)\neq f(x_2)$，即每个 $y$ 只有一个 $x$ 与之对应，称为单射

如图：

双射

即是单射又是满射称为双射，又称一一映射

如图为姓名和学号的映射：

逆映射

定义

1. 定义1

   映射 $f:X\rightarrow Y$ 为单射
   称 $f^{-1}:R_f\rightarrow X$ 为其逆映射

   按上述定义，只有单射才存在逆映射

2. 定义2

   映射 $f:X\rightarrow Y$ 为双射
   称 $f^{-1}:Y\rightarrow X$ 为其逆映射

   按上述定义，只有双射才存在逆映射

在 $f:$ 姓名 $\rightarrow$ 学号 映射中，可知 $f($王五$)=00005$
其逆映射 $f^{-1}:$ 学号 $\rightarrow$ 姓名 如下图：

可得 $f^{-1}(00005)=$ 王五

复合映射

定义

有两个映射：

1. $g:X\rightarrow Y_1$
2. $f:Y_2\rightarrow Z$

满足 $Y_1\subseteq Y_2$，可推出 $R_g\subseteq D_f$

$R_g\subseteq Y_1\subseteq Y_2=D_f$

则由映射 $f$ 和 $g$ 可确定一个从 $X$ 到 $Z$ 的映射，此映射成为映射 $f$ 和 $g$ 构成的复合映射，记作 $f\circ g$
即 $f\circ g:X\rightarrow Z$ 或 $f\circ g(x)=f[g(x)],~x\in X$

注意：$f\circ g\neq g\circ f$，因为 $g$ 和 $f$ 复合是有顺序的

如图：

1. 映射 $g:X\rightarrow Y_1$ 代表 $x\in X$ 的父亲是 $y_1=g(x)$
   
2. 映射 $f:Y_2\rightarrow Z$ 代表 $y_2\in Y_2$ 的母亲是 $z=f(y_2)$
   
3. 复合映射 $f\circ g:X\rightarrow Z$ 代表 $x\in X$ 的祖母是 $z=f\circ g(x)$
   

参考

[1] 高等数学同济大学出版社第七版