三角函数

几何定义

直角三角形定义

有一直角三角形如下

则三角函数定义如下

正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
$\sin\theta=\frac{a}{h}$	$\cos\theta=\frac{b}{h}$	$\tan\theta=\frac{a}{b}$	$\cot\theta=\frac{b}{a}$	$\sec\theta=\frac{h}{b}$	$\csc\theta=\frac{h}{a}$

由于是直角三角形，因此此定义只能定义 $\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$ 范围内

单位圆定义

有一单位圆 $x^2+y^2=1$ 如下

$P(x,y)$ 为单位圆上一点

则三角函数定义如下

正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
$\sin\theta=\frac{y}{1}=y$	$\cos\theta=\frac{x}{1}=x$	$\tan\theta=\frac{y}{x}$	$\cot\theta=\frac{x}{y}$	$\sec\theta=\frac{1}{x}$	$\csc\theta=\frac{1}{y}$

此时 $\theta\in(-\infty,+\infty)$

• $\theta>0$ 时按逆时针旋转
• $\theta<0$ 时按顺时针旋转

函数图像

正弦函数

$$y=\sin x$$

由图知正弦函数

• 最小正周期为 $2\pi$
• 对称轴为 $x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$
• 对称中心为 $(k\pi,0),\ k\in\mathbb{Z}$
• 在一二象限取值为正，三四象限取值为负

余弦函数

$$y=\cos x$$

由图知余弦函数

• 最小正周期为 $2\pi$
• 对称轴为 $x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$
• 对称中心为 $(\frac{\pi}{2}+k\pi,0),\ k\in\mathbb{Z}$
• 在一四象限取值为正，二三象限取值为负

正切函数

$$y=\tan x$$

由图知正切函数

• 最小正周期为 $\pi$
• 对称中心为 $(k\pi,0),\ k\in\mathbb{Z}$
• 在一三象限取值为正、二四象限取值为负

余切函数

$$y=\cot x$$

由图知余切函数

• 最小正周期为 $\pi$
• 对称中心为 $(\frac{\pi}{2}+k\pi,0),\ k\in\mathbb{Z}$
• 在一三象限取值为正、二四象限取值为负

正割函数

$$y=\sec x$$

由图知正割函数

• 最小正周期为 $2\pi$
• 对称轴为 $x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$
• 对称中心为 $(\frac{\pi}{2}+k\pi,0),\ k\in\mathbb{Z}$
• 在一四象限取值为正、二三象限取值为负

余割函数

$$y=\csc x$$

由图知余割函数

• 最小正周期为 $2\pi$
• 对称轴为 $x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$
• 对称中心为 $(k\pi,0),\ k\in\mathbb{Z}$
• 在一二象限取值为正、三四象限取值为负

恒等式

互相表示

由三角函数的定义可知

• $$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

• $$\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

• $$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$$

• $$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$

毕达哥拉斯恒等式

由直角三角形定义和勾股定理或单位圆定义可知

• $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

由此可推出

• $\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$
• $\cot^2\theta+1=\csc^2\theta$

诱导公式

形如 $\sin/\cos/\tan/\cot/\sec/\csc(\theta+\frac{k\pi}{2}),\ k\in\mathbb{Z}$ 其中“$/$”表示或者之意
变换口诀：奇变偶不变，符号看象限

1. 奇偶的意思是 $k$ 的奇偶性。若为奇数，则 $\sin$ 和 $\cos$ 互换、$\tan$ 和 $\cot$ 互换、$\sec$ 和 $\csc$ 互换；偶数则不变
2. 将 $\theta$ 看作锐角，判断 $\theta+\frac{k\pi}{2}$ 所在象限。若在该象限下三角函数取负值，则在前面添加负号

如：

• $\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta$
  $k=1$ 为奇数，$\sin$ 变 $\cos$
  $\theta+\frac{\pi}{2}$ 在第二象限，$\sin$ 值为正，符号为正
• $\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$
  $k=2$ 为偶数，不需要变
  $\theta+\pi$ 在第三象限，$\sin$ 值为负，符号为负
• $\cos(\theta+\frac{3\pi}{2})=\sin\theta$
  $k=3$ 为奇数，$\cos$ 变 $\sin$
  $\theta+\frac{3\pi}{2}$ 在第四象限，$\cos$ 值为正，符号为正
• $\tan(\theta-\frac{\pi}{2})=-\cot\theta$
  $k=-1$ 为奇数，$\tan$ 变 $\cot$
  $\theta-\frac{\pi}{2}$ 在第四象限，$\tan$ 值为负，符号为负
• $\sin(-\theta)=-\sin\theta$
  $k=0$ 为偶数，不需要变
  $-\theta$ 在第四象限，$\sin$ 值为负，符号为负

以上结论由函数图形易得出

和差公式

正弦

• $\sin(\theta_1+\theta_2)=\sin \theta_1\cos \theta_2+\cos \theta_1\sin \theta_2$
• $\sin(\theta_1-\theta_2)=\sin \theta_1\cos \theta_2-\cos \theta_1\sin \theta_2$

证明过程

设有一单位圆 $\theta_1^2+\theta_2^2=1$

则 $|AG|=\sin\theta_2,\ |OG|=\cos\theta_2$
$\therefore |MP|=|GR|=|OG|\sin\theta_1=\sin\theta_1\cos\theta_2$
$\because\triangle ONP\sim\triangle GNM$（直角三角形一个角相等）
$\therefore\angle NGM=\angle NOP=\theta_1$
$\because\angle NGP+\angle AGM=\angle MAG+\angle AGM=90\degree$
$\therefore\angle MAG=\angle NGM=\theta_1$
$\therefore |AM|=|AG|\cos\theta_1=\cos\theta_1\sin\theta_2$
$\therefore$

$$\begin{aligned}\sin(\theta_1+\theta_2)&=|AP|=|AM|+|MP|\\&=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2\end{aligned}$$

令 $\theta_2=-\theta_2$ 则

$$\begin{aligned}\sin(\theta_1-\theta_2)&=\sin[\theta_1+(-\theta_2)]\\&=\sin\theta_1\cos(-\theta_2)+\cos\theta_1\sin(-\theta_2)\\&=\sin\theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1\sin\theta_2\end{aligned}$$

余弦

• $\cos(\theta_1+\theta_2)=\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2$
• $\cos(\theta_1-\theta_2)=\cos \theta_1\cos \theta_2+\sin \theta_1\sin \theta_2$

证明过程

令 $\theta_2=\theta_2+\frac{\pi}{2}$ 则

$$\begin{aligned}\cos(\theta_1+\theta_2)&=\sin(\theta_1+\theta_2+\frac{\pi}{2})\\&=\sin\theta_1\cos(\theta_2+\frac{\pi}{2})+\cos\theta_1\sin(\theta_2+\frac{\pi}{2})\\&=\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\end{aligned}$$

令 $\theta_2=-\theta_2$ 则

$$\begin{aligned}\cos(\theta_1-\theta_2)&=\cos[\theta_1+(-\theta_2)]\\&=\cos\theta_1\cos(-\theta_2)-\sin\theta_1\sin(-\theta_2)\\&=\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2\end{aligned}$$

正切

$$\tan(\theta_1+\theta_2)=\frac{\tan \theta_1+\tan \theta_2}{1-\tan \theta_1\tan \theta_2}$$

$$\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan \theta_1-\tan \theta_2}{1+\tan \theta_1\tan \theta_2}$$

证明过程

$$\begin{aligned}\tan(\theta_1+\theta_2)&=\frac{\sin(\theta_1+\theta_2)}{\cos(\theta_1+\theta_2)}\\&=\frac{\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2}\\&=\frac{\frac{\sin\theta_1\cos\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2}+\frac{\cos\theta_1\sin\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2}}{\frac{\cos\theta_1\cos\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2}-\frac{\sin\theta_1\sin\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2}}\\&=\frac{\frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1}+\frac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2}}{1-\frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1}\frac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2}}\\&=\frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}\end{aligned}$$

令 $\theta_2=-\theta_2$ 则

$$\begin{aligned}\tan(\theta_1-\theta_2)&=\tan[\theta_1+(-\theta_2)]\\&=\frac{\tan\theta_1+\tan(-\theta_2)}{1-\tan\theta_1\tan(-\theta_2)}\\&=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}\end{aligned}$$

倍角公式

由和差公式可推出

• $$\begin{aligned}\sin 2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\\&=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}\\&=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\end{aligned}$$

• $$\begin{aligned}\cos 2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\&=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\\&=2\cos^2 \theta-1\\&=1-2\sin^2\theta\end{aligned}$$

• $$\tan 2\theta=\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$$

降幂公式

由倍角公式容易推出

• $$\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$$

• $$\cos^2\theta=\frac{\cos2\theta+1}{2}$$

由以上两个公式容易推出

• $$\tan^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{1+\cos2\theta}$$

半角公式

由倍角公式可推出

$$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$$

证明过程

$\because \cos \theta=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}$
$\therefore 1-\cos \theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}$
$\because \sin \theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$
$\therefore$

$$\begin{aligned}\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}&=\frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}\\&=\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}\\&=\tan\frac{\theta}{2}\end{aligned}$$

$\because \cos \theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1$
$\therefore 1+\cos \theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}$
$\therefore$

$$\begin{aligned}\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}&=\frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\cos^2\frac{\theta}{2}}\\&=\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}\\&=\tan\frac{\theta}{2}\end{aligned}$$

积化和差公式

• $$\sin\theta_1\sin\theta_2=-\frac{1}{2}[\cos(\theta_1+\theta_2)-\cos(\theta_1-\theta_2)]$$

• $$\sin\theta_1\cos\theta_2=\frac{1}{2}[\sin(\theta_1+\theta_2)+\sin(\theta_1-\theta_2)]$$

• $$\cos\theta_1\sin\theta_2=\frac{1}{2}[\sin(\theta_1+\theta_2)-\sin(\theta_1-\theta_2)]$$

• $$\cos\theta_1\cos\theta_2=\frac{1}{2}[\cos(\theta_1+\theta_2)+\cos(\theta_1-\theta_2)]$$

证明过程

由和差公式得

$$\begin{cases} \sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2&&&&&(1)\\ \sin(\theta_1-\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1\sin\theta_2&&&&&(2)\\ \cos(\theta_1+\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2&&&&&(3)\\ \cos(\theta_1-\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2&&&&&(4)\\ \end{cases}$$

式 $(4)-$ 式 $(3)$ 得

$$\sin\theta_1\sin\theta_2=\frac{1}{2}[\cos(\theta_1-\theta_2)-\cos(\theta_1+\theta_2)]$$

式 $(4)+$ 式 $(3)$ 得

$$\cos\theta_1\cos\theta_2=\frac{1}{2}[\cos(\theta_1+\theta_2)+\cos(\theta_1-\theta_2)]$$

式 $(1)+$ 式 $(2)$ 得

$$\sin\theta_1\cos\theta_2=\frac{1}{2}[\sin(\theta_1+\theta_2)+\sin(\theta_1-\theta_2)]$$

式 $(1)-$ 式 $(2)$ 得

$$\cos\theta_1\sin\theta_2=\frac{1}{2}[\sin(\theta_1+\theta_2)-\sin(\theta_1-\theta_2)]$$

和差化积公式

• $$\sin\theta_1+\sin\theta_2=2\sin(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\cos(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})$$

• $$\sin\theta_1-\sin\theta_2=2\cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\sin(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})$$

• $$\cos\theta_1+\cos\theta_2=2\cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\cos(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})$$

• $$\cos\theta_1-\cos\theta_2=-2\sin(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\sin(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})$$

证明过程

$\because$

$$\theta_1=\frac{\theta_1+\theta_2}{2}+\frac{\theta_1-\theta_2}{2},\ \theta_2=\frac{\theta_1+\theta_2}{2}-\frac{\theta_1-\theta_2}{2}$$

$\therefore$

$$\begin{aligned}&\sin\theta_1=\sin(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\cos(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})+\cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\sin(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})\\&\sin\theta_2=\sin(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\cos(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})-\cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\sin(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})\\&\cos\theta_1=\cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\cos(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})-\sin(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\sin(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})\\&\cos\theta_2=\cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\cos(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})+\sin(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\sin(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})\end{aligned}$$

$\therefore$

$$\sin\theta_1+\sin\theta_2=2\sin(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})\cos(\frac{\theta_1-\theta_2}{2})$$

其他同理可证

辅助角公式

$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi)$$

其中

$$\sin(\varphi)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},~\cos(\varphi)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

参考

[1] 维基百科三角函数https://zh.wikipedia.org/wiki/三角函数
[2] 百度百科三角函数公式https://baike.baidu.com/item/三角函数公式/4374733