导数

定义

点可导

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$ 有定义，给定一个增量 $\Delta x$（$x_0+\Delta x\in U(x_0)$，$\Delta x$ 可正可负），且极限 $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $y'|_{x=x_0}$ 或 $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$

此极限还有另一种表示形式，令 $x=x_0+\Delta x$，则 $\Delta x=x-x_0$

$$\begin{aligned}f'(x_0)&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow x_0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{aligned}$$

由定义可知导数 $f'(x)$ 实质就是一个特殊的极限

区间可导

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 的每一点都可导，记作 $f'(x)$ 或 $y'$ 或 $\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}$，称 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数

单侧导数

左导数

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的左邻域 $U(x_0^-)$ 有定义，则左导数定义为

$$f'(x_0^-)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

右导数

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的右邻域 $U(x_0^+)$ 有定义，则右导数定义为

$$f'(x_0^+)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

存在条件

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处存在导数的充要条件为

• $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续
  此条件保证了 $f(x_0)$ 存在且导数定义式极限不为无穷大
• $f(x)$ 在 $x_0$ 处左右导数相等
  此条件保证了 $x$ 以任意方式趋近 $x_0$ 的结果都一样

这两个条件缺一不可，如下图

• 左图 $y=\frac{x(x-2)}{x-2}$ 在点 $(2,2)$ 处不连续但是左右导数相等，$f(2)$ 不存在，因此极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ 不存在，$f(x)$ 在 $2$ 处导数不存在
• 右图 $y=|x|$ 在点 $(0,0)$ 处左右导数不相等但是连续，左导数 $f(0^-)=-1$、右导数 $f(0^+)=1$，因此导数不存在

意义

函数意义

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 即为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的变化率（变化快慢）

几何意义

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 即为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处切线的斜率

求导法则

和差积商

$u=u(x),~v=v(x)$ 都可导，则

• $(u\pm v)'=u'\pm v'$
• $(uv)'=u'v+uv'$
• $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2},~v(x)\neq 0$

证明过程

$(u\pm v)'=u'\pm v'$ 由极限运算法则的加减法则易知

$$\begin{aligned} (uv)'&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]v(x+\Delta x)}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{[v(x+\Delta x)-v(x)]u(x)}{\Delta x}\\ &=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\frac{u}{v})'&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)}}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}\\ &=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{aligned}$$

反函数

函数 $y=f(x)$ 与 $x=f^{-1}(y)$ 互为反函数，则

$$f'(x)=\frac{1}{[f^{-1}(y)]'}$$

也可写成

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

证明过程

给定 $x$ 一个增量 $\Delta x$，对应的 $y$ 的增量为 $\Delta y$
因为可导一定连续，即 $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y$，则 $\Delta x\rightarrow 0$ 时 $\Delta y\rightarrow 0$

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}\\ &=\lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}\\ &=\frac{1}{\lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}}\\ &=\frac{1}{[f^{-1}(y)]'} \end{aligned}$$

复合函数

复合函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 复合而成，则

$$y'=f'(u)\cdot g'(x)$$

也可写成

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

证明过程

给定 $x$ 一个增量 $\Delta x$，对应的 $u$ 的增量为 $\Delta u$，对应的 $y$ 的增量为 $\Delta y$
$\because f'(u)=\lim\limits_{\Delta u\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}$
$\therefore\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+\alpha(\Delta u)$
$\therefore\Delta y=f'(u)\Delta u+\alpha(\Delta u)\Delta u$
$\therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}$
可导一定连续，则 $\Delta x\rightarrow 0$ 时 $\Delta u\rightarrow 0$，$\Delta u\rightarrow 0$ 时 $\Delta y\rightarrow 0$

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}[f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}]\\ &=f'(u)\cdot g'(x) \end{aligned}$$

作用

判断函数单调性

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内导函数 $f'(x)\geq 0$ 且等号只在有限个点成立，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递增

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内导函数 $f'(x)\leq 0$ 且等号只在有限个点成立，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递减

判断函数凹凸性

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内二阶导数 $f''(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内为凹函数

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内二阶导数 $f''(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内为凸函数

判断函数极值点

若函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极值，则 $f'(x_0)=0$

常见函数的导数

原函数	导函数
$f(x)=C$	$f'(x)=0$
$f(x)=x^\mu$	$f'(x)=\mu x^{\mu-1}$
$f(x)=a^x$	$f'(x)=a^x\ln a$
$f(x)=e^x$	$f'(x)=e^x$
$f(x)=\log_ax$	$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$
$f(x)=\ln x$	$f'(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=\sin x$	$f'(x)=\cos x$
$f(x)=\cos x$	$f'(x)=-\sin x$
$f(x)=\tan x$	$f'(x)=\sec^2x$
$f(x)=\cot x$	$f'(x)=-\csc^2x$
$f(x)=\sec x$	$f'(x)=\sec x\tan x$
$f(x)=\csc x$	$f'(x)=-\csc x\cot x$
$f(x)=\arcsin x$	$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f(x)=\arccos x$	$f'(x)=\frac{1}{-\sqrt{1-x^2}}$
$f(x)=\arctan x$	$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$
$f(x)=\text{arccot}~x$	$f'(x)=-\frac{1}{1+x^2}$

常数函数

$f(x)=C$，其中 $C$ 为常数，则 $f'(x)=0$

证明过程

$$\begin{aligned}f'(x)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{C-C}{x-x_0}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{0}{x-x_0}\\&=0\end{aligned}$$

幂函数

$f(x)=x^\mu$，其中 $\mu\in\mathbb R$，则 $f'(x)=\mu x^{\mu-1}$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^\mu-x^\mu}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^\mu[(1+\frac{\Delta x}{x})^\mu-1]}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^{\mu-1}[(1+\frac{\Delta x}{x})^\mu-1]}{\frac{\Delta x}{x}}\\ &=x^{\mu-1}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^\mu-1}{\frac{\Delta x}{x}}\\ &=x^{\mu-1}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\mu\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta x}{x}}\\ &=\mu x^{\mu-1} \end{aligned}$$

由常见等价无穷小知 $(1+\frac{\Delta x}{x})^\mu-1\sim\mu\frac{\Delta x}{x}$

指数函数

$f(x)=a^x$，其中 $a\in\mathbb{R},a>0,a\neq 1$，则 $f'(x)=a^x\ln a$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}\\ &=a^x\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ &=a^x\ln a \end{aligned}$$

由常见等价无穷小知 $a^x-1\sim x\ln a$

对数函数

$f(x)=\log_a x$，其中 $a\in\mathbb{R},a>0,a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}\\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\log_a\frac{(x+\Delta x)}{x}}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{x\cdot \frac{\Delta x}{x}}\\ &=\frac{1}{x}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})^\frac{x}{\Delta x}\\ &=\frac{1}{x}\log_a\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}}\\ &=\frac{1}{x}\log_a e\\ &=\frac{1}{x\ln a} \end{aligned}$$

由自然底数 $e$ 的定义知 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

三角函数

正弦函数

$f(x)=\sin x$，则 $f'(x)=\cos x$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\cos(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\\ &=\cos x \end{aligned}$$

由和差化积公式知 $\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin\frac{\Delta x}{2}$
由两个重要极限知 $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=1$

余弦函数

$f(x)=\cos x$，则 $f'(x)=-\sin x$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-2\sin(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\\ &=\sin x \end{aligned}$$

由和差化积公式知 $\cos(x+\Delta x)-\cos x=-2\sin(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin\frac{\Delta x}{2}$
由两个重要极限知 $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=1$

正切函数

$f(x)=\tan x$，则 $f'(x)=\sec^2 x$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=(\frac{\sin x}{\cos x})'\\ &=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2x}\\ &=\frac{cos^2x+sin^2x}{\cos^2x}\\ &=\frac{1}{\cos^2x}\\ &=\sec^2x \end{aligned}$$

反三角函数

反正弦函数

$f(x)=\arcsin x$，则 $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{[f^{-1}(y)]'}\\ &=\frac{1}{[\sin(y)]'}\\ &=\frac{1}{\cos y} \end{aligned}$$

$\because x=\sin y,~\sin^2y+\cos^2y=1$
$\therefore x^2+\cos^2y=1$
$\therefore \cos y=\pm\sqrt{1-x^2}$
$\because y\in[-\frac{\pi}{2},~\frac{\pi}{2}]$
$\therefore \cos y=\sqrt{1-x^2}$
$\therefore f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

反余弦函数

$f(x)=\arccos x$，则 $f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{[f^{-1}(y)]'}\\ &=\frac{1}{(\cos y)'}\\ &=\frac{1}{-\sin y}\\ &=-\frac{1}{\sin y} \end{aligned}$$

$\because x=\cos y,~\sin^2y+\cos^2y=1$
$\therefore \sin^2y+x^2=1$
$\therefore \sin y=\pm\sqrt{1-x^2}$
$\because y\in[0,~\pi]$
$\therefore \sin y=\sqrt{1-x^2}$
$\therefore f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

反正切函数

$f(x)=\arctan x$，则 $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$

证明过程

$$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{[f^{-1}(y)]'}\\ &=\frac{1}{(\tan y)'}\\ &=\frac{1}{\sec^2y} \end{aligned}$$

$\because x=\tan y,~1+\tan^2y=\sec^2y$
$\therefore 1+x^2=\sec^2y$
$\therefore f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$

高阶导数

定义

函数 $y=f(x)$ 可导，则

• 二阶导数
  若 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$ 可导，则 $f'(x)$ 的导数记作 $f''(x)$ 或 $\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d^2y}{dx}$
• 三阶导数
  若 $f(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$ 可导，则 $f''(x)$ 的导数记作 $f'''(x)$ 或 $\frac{d^3y}{dx}$
• 四阶导数
  若 $f(x)$ 的三阶导数 $f'''(x)$ 可导，则 $f'''(x)$ 的导数记作 $f^{(4)}(x)$ 或 $\frac{d^4y}{dx}$
• $n$ 阶导数
  若 $f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数 $f^{(n-1)}(x)$ 可导，则 $f^{(n-1)}(x)$ 的导数记作 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^ny}{dx}$

莱布尼茨公式

函数 $u=u(x),~v=v(x)$ 则

$$\begin{aligned} (uv)^{(n)}&=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v''+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots+uv^{(n)}\\ &=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} \end{aligned}$$

常见函数高阶导数

• $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
• $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$

参考

[1] 高等数学同济大学数学系高等教育出版社上册